Phân tích đa thức thành nhân tử: Toán 8, 9 các bài tập cơ bản nhất

Phân tích đa thức
Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong các dạng bài tập rất cơ bản của toán 8, 9. Đây là kiến thức nền tảng của toán lớp 8 để học sinh học những nội dung tiếp theo của chương trình toán lớp 9 và chuẩn bị kiến thức để thi vào lớp 10 PTTH. Vì vậy cần đặc biệt lưu ý trong quá trình học để không bị mất gốc kiến thức.
Trong bài viết này mời các bạn hãy cùng trang web ôn thi toán cùng học hỏi và tìm hiều về chủ đề Phân tích đa thức thành nhân tử là gì, cùng với đó là các cách phân tích đa thức thành nhân tử thông dụng cần ghi nhớ và các ví dụ cụ thể đối với từng phương pháp để học sinh biết cách vận dụng lí thuyết vào làm bài tập.
Phân tích đa thức
Phương pháp 2: Áp dụng hằng đẳng thức
  • Khi đọc một đa thức, chúng có thể đã được khai triển ra bởi một hằng đẳng thức
  • Ta có thể áp dụng hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành nhân tử

Ví dụ : x2 – 25

= x2 – (5)2 

= (x – 5) (x + 5) 

(hằng đẳng thức số 1)    

Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

biến đổi một đa thức thành một tích của những đa thức.
Trong đại số sơ cấpphân tích nhân tử là một thuật ngữ toán học dùng để chỉ một cách viết một số nguyên, hay tổng quát là một vật thể toán học, thành một phép nhân của các số nguyên khác, hay tổng quát là các vật thể toán học khác. Các số nguyên, hay vật thể toán học, nằm trong phép nhân gọi là nhân tử.
Ví dụ bài tập phân tích nhân tử: a)  x2 + 4x + 4.        b) 4x2 – 4x + 1.    c) 2x – 1 – x2.     d) x2 + x + 
14

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 

a)  x2 + 4x + 4.        b) 4x2 – 4x + 1.    c) 2x – 1 – x2.     d) x2 + x + 
14

a) x2 + 4x + 4
= x2 + 2x + 2x + 4      
=   x(x + 2) + 2(x + 2)
= (x + 2) (x + 2) 
= (x + 2)2 
Như vậy đơn thức này là dạng bình phương của một tổng là một trong số 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
b) 4x2 – 4x + 1           
= 4x2 – 2x – 2x + 1
= 2x(2x -1) – (2x – 1)
= (2x -1) (2x -1)  
=  (2x – 1)2 
Đơn thức này là dạng bình phương của một hiệu là một trong số 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
c) 2x – 1 – x2
= x + x – 1 – x2 
= (x – 1) – (x2 – x)
= (x – 1) – x (x – 1)   
=  (1 – x) (x – 1)

d) x2 + x +

14

 

x2 +

12

x +

12

x +

14

 

 

= x(x +

12

) + 

12

(x +

12

)

 

= (x +

12

) (x +

12

)

 

= (x +

12

)2         

 
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x2 – 4x + 4 – y2.     b) x2 + 2xy + y2. (x + y)      c) x2 – 2xy + y2 – 9        
 a) x2 – 4x + 4 – y2 
= (x2 – 4x + 4) – y2   
= (x2 – 2x – 2x + 4) – y2 
= [ x(x – 2) – 2(x – 2)] – y2
= (x – 2)2 – y2 
= (x – 2 + y) (x – 2 – y) 
b) (x2 + 2xy + y2) . (x + y) 
= (x2 + xy + xy + y2) . (x + y)                                            
= [x(x + y) + y(x + y)] . (x + y)                      
= (x + y)  (x + y)  (x + y) 
= (x + y)2. (x + y)       
= (x + y)3 
c) x2 – 2xy + y2 – 9 
= (x2 – xy – xy + y2) – 9  
= [x(x – y) – y(x – y)] – 9
= (x – y)2 – 9
= (x – y + 9) (x – y – 9)  
Trên đây là các ví dụ bài tập ôn hè lớp 8 trường THCS Tân Quang

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Về cơ bản chúng ta có đến 7 phương pháp được sử dụng để biến đổi các biểu thức thành nhân tử

  1. Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung

    + Trong đa thức có nhiều hạng tử, ta tìm xem chúng có nhân tử chung là gì.

    + Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và nhân tử khác.

    + Đặt nhân tử chung ra ngoài, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).

    + Công thức: A.B + A.C = A.(B + C)

    Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:

    75.20,9 + 52 .20,9 = 20,9.(75 + 52) = 20,9.100 = 2090

    98,6.199 – 990.9,86 = 98,6.199 – 99.10.9,86 = 98,6.199 – 98,6.99 = 98,6.(199 – 99) = 98,6.100 = 9860

  2. Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức

    + Ở phương pháp này, ta vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản.

    Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

    A = (3x – 2)2 – 16×2 = (3x – 2)2 – (4x)2 = (3x – 2 – 4x) (3x – 2 + 4x)

    = (-x – 2) (7x – 2) = (x + 2) (2 – 7x)

  3. Phương pháp 3: Phương pháp nhóm hạng tử

    + Ta xem trong đa thức đó, có những hạng tử nào có thể nhóm lại với nhau.

    + Sau đó phân tích chúng thành các đơn thức, đa thức đơn giản hơn.

    + Đặt thừa số chung, có thể sử dụng hằng đẳng thức để phân tích.

    Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

    A = x2 – y2 – 5x + 5y

    = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x – y)(x + y) – 5(x – y) = (x – y)(x + y – 5)

  4. Phương pháp 4: Phương pháp tách hạng tử

    Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

    A = x2 + 7x + 6 = x2 + x + 6x + 6 = x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 6)(x + 1)

  5. Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt hạng tử

    Ví dụ: Biến đổi các đa thức sau thành nhân tử

    A = x3 + x2 – 3x + 1

    = (x3 – x2) + x2 + x2 – 3x + 1

    = x2 (x – 1) + 2x (x -1) – (x – 1)

    = (x – 1) (x2 + 2x – 1)

  6. Phương pháp 6: Phương pháp đặt ẩn phụ

    Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

    A = (x2 – 2x)2 – 3 (x2 – 2x) – 10

    = y2 – 3y – 10 ( với y = x2 – 2x)

    = y2 – 5y + 2y – 10 = y (y – 5) + 2 (y – 5) = (y – 5) (y + 2)

    Thay y = x2 – 2x, ta được:

    A = (x2 – 2x – 5) (x2 – 2x + 2)

  7. Phương pháp 7: Giảm dần số mũ của lũy thừa 

    Ví dụ:

    c, x(y – x)2 + xy.(x- y)

    = x(x – y)2 + xy(x – y)

    = x(x – y)(x – y) + xy(x – y)

    = x(x – y) [(x – y) + y]